题目

已知:关于x的方程4(a-x)(c-x)-(b-x)^2=0有相等的实数根.求证：以a、b、c为三边的三角形ABC是等边三角形.

提问时间：2020-12-19

答案

1.因为（a-x)^2-4(b-x)(c-x)=0,
所以3x^2+(2a-4b-4c)x+(4bc-a^2)=0,
所以(判别式)1=(2a-4b-4c)^2-12(4bc-a^2)
=16[a^2-(b+c)a+(b^2+c^2-bc)],
令f(a)=a^2-(b+c)a+(b^2+c^2-bc),
所以(判别式)2=(b+c)^2-4(b^2+c^2-bc)
=-3(b-c)^2<=0,
所以对于任意实数a,f(a)>=0恒成立,
所以(判别式)1>=0恒成立,
所以此方程必有实数根；
2.若方程有两个相等的实数根,
所以f(a)=0,即-3(b-c)^2=0,
所以b=c,
所以(判别式)1=a^2-2b*a+b^2=(a-b)^2=0,
所以a=b.
所以a=b=c,
所以三角形ABC为等边三角形.