题目

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A，B两点，圆心O₁在⊙O₂上，过B点作两圆的割线CD，射线DO₁交
AC于E点．求证：DE⊥AC．

提问时间：2020-12-18

答案

方法一：
证明：如图：
连接AB、作圆O₁的直径AF，连接FB，
∵AF为直径
∴∠BAF+∠AFB=90°
∵∠C=∠F，∠FAB=∠EDB
∴∠C+∠EDB=90°
∴DE⊥AC
方法二：
证明：如图：

连接AD，AO₁，CO₁，BO₁；
∵AO₁=BO₁，
∴弧AO₁=弧BO₁，∠ADO₁=∠BDO₁；
在⊙O₁中，CO₁=BO₁，
∴∠O₁CB=∠O₁BC；
∵A，B，D，O₁四点共圆，
∴∠O₁BC=∠O₁AD=∠O₁CB；
在△CDO₁和△ADO₁中

∠O1DC＝∠O1DA ∠DCO1＝∠DAO1 DO1＝DO1

，
∴△CDO₁≌△ADO₁；
∴AD=CD，∠ADO₁=∠CDO₁；
∴DE⊥AC．

方法一：首先连接AB、作圆O₁的直径AF，连接FB，利用圆周角定理得出∠BAF+∠AFB=90°，进而求出∠C+∠EDB=90° 即可．
方法二：首先连接AD，AO₁，CO₁，BO₁；由于A，B，D，O₁四点共圆，根据圆内接四边形的性质知可证得△CDO₁≌△ADO₁，则AD=CD，DE为等腰△ACD的顶角平分线；由等腰三角形的性质：顶角的平分线与底边上的高重合，进而得出答案．

本题考点：相交两圆的性质．

考点点评：本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，综合性较强，难度较大．