题目
高数题!可降阶的高阶微分方程
y''+（y'）^2=1 ；y（0）=0 ；y'（0）=0特解.
y''+（y'）^2=1 ；y（0）=0 ；y'（0）=0特解.
提问时间：2020-12-18
答案
令y'=p,则y"=pdp/dy
代入方程得：pdp/dy+p^2=1
pdp/(1-p^2)=dy
d(-p^2)/(1-p^2)=-2dy
积分：ln|1-p^2|=-2y+C1
即1-p^2=Ce^(-2y)
代入y(0)=0,p(0)=0,得：C=1
故p^2=1-e^(-2y)
dy/√[1-e^(-2y)]=±dx
记t=√(1-e^(-2y)),则y=-0.5ln(1-t^2),dy=t/(1-t^2)dt
上式化为：
dt/(1-t^2)=±dx
dt*[1/(1-t)+1/(1+t)]=±2dx
积分：ln|(1+t)/(1-t)|=±2x+C2
(1+t)/(1-t)=Ce^(±2x)
x=0时,y=0,t=0,代入得：C=1
故有：[1+√(1-e^(-2y))]/[1-√(1-e^(-2y)) ]=e^(±2x)
代入方程得：pdp/dy+p^2=1
pdp/(1-p^2)=dy
d(-p^2)/(1-p^2)=-2dy
积分：ln|1-p^2|=-2y+C1
即1-p^2=Ce^(-2y)
代入y(0)=0,p(0)=0,得：C=1
故p^2=1-e^(-2y)
dy/√[1-e^(-2y)]=±dx
记t=√(1-e^(-2y)),则y=-0.5ln(1-t^2),dy=t/(1-t^2)dt
上式化为：
dt/(1-t^2)=±dx
dt*[1/(1-t)+1/(1+t)]=±2dx
积分：ln|(1+t)/(1-t)|=±2x+C2
(1+t)/(1-t)=Ce^(±2x)
x=0时,y=0,t=0,代入得：C=1
故有：[1+√(1-e^(-2y))]/[1-√(1-e^(-2y)) ]=e^(±2x)
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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