题目

已知函数f(x)=sin^2 x +a cosx-1/2在0≤x≤π/2的最大值为1,求实数a的值

提问时间：2020-12-18

答案

f(x)=sin²x+acosx-1/2
=1-cos²x+acosx-1/2
=-cos²x+acosx+1/2
=-(cosx-a/2)²+1/2+a²/4≤1/2+a²/4
∵0≤x≤π/2
∴ cosx∈[0,1]
假设最大值为1/2+a²/4=1
则
a²/4=1/2
a=±√2
当a=√2时,cosx-a/2=cosx-√2/2可以等于0,假设成立
当a=-√2时,cosx-a/2=cosx+√2/2=0时,得cosx=-√2/2不属于[0,1],不成立

所以实数a的值为√2.