题目

函数f（x）的定义域为D，若满足：
①f（x）在D内是单调函数；
②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数.
现有f（x）=

2−x

-k是对称函数，那么k的取值范围是（　　）
A. [2，

9

4

）
B. （-∞，

9

4

）
C. （2，

9

4

）
D. (−∞，

9

4

]（-∞，

9

4

]

提问时间：2020-12-18

答案

由于f（x）=

2−x

在（-∞，2]上是减函数，故满足①，
又f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，
∴

2−a −k＝−a 2−b −k＝−b

∴a和 b 是关于x的方程

2−x

在（-∞，2]上有两个不同实根．
令t=

2−x

在，则x=2-t²，t≥0，
∴k=-t²+t+2=-（t-

1

2

）²+

9

4

，
∴k的取值范围是[2，

9

4

），
故选：A．

f（x）=

2−x

在在定义域（-∞，2]上是减函数，由②可得 f（a）=-a，f（b）=-b，由此推出 a和 b 是方程

2−x

在（-∞，2]上的两个根．利用换元法，转化为∴k=-t²+t+2=-（t-

1

2

）²+

9

4

，在[0，+∞）有两个不同实根，解此不等式求得 k 的范围即为所求．

本题考点：函数的图象．

考点点评：本题考查函数的单调性的应用，求函数的值域，体现了转化的数学思想，得到a和 b 是方程

2−x

在（-∞，2]上的两个根，是解题的难点，属中档题