题目

已知函数f（x）=e的x次方（ax+b）-x的平方-4x,曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=4x+4.要求讨论f（x）的单调性,并求f（x）的极大值.

提问时间：2020-12-18

答案

f(x)=e^x*(ax+b)-x^2-4x
则,f'(x)=e^x*(ax+b)+e^x*a-2x-4
所以,f'(0)=b+a-4
已知在(0,f(0))处的切线为y=4x+4
所以,f'(0)=4
===> a+b=8
又点(0,f(0))在切线上,所以：f(0)=4
而,f(0)=b
所以,a=b=4
那么,f'(x)=4(x+2)e^x-2(x+2)=2(x+2)*(2e^x-1)
当f'(x)=0时有：x=-2,或者x=-ln2
当x＞-ln2时,f'(x)＞0,f(x)递增
当-2＜x＜-ln2时,f'(x)＜0,f(x)递减
当x＜-2时,f'(x)＞0,f(x)递增
所以,f(x)有极大值f(-2)=0