题目

平面直角坐标系中,A(-4,0),B(4,0),设C(x,y)满足CA⊥CB,求CA+CB的最大值.

提问时间：2020-12-18

答案

CA⊥CB,显然C在以AB为直径的圆上,圆心为AB的中点,即原点,半径为4,圆方程为：
x²+y² = 16
f(x) = CA + CB = √[(x + 4)² + (y-0)²] + √[(x - 4)² + (y-0)²] = √[(x + 4)² + y²] + √[(x - 4)² + y²]
= √(x² + y² +8x +16) + √(x² + y² - 8x +16)
= √(32 + 8x) + √(32 - 8x)
f'(x) = (1/2)*8/√(32 + 8x) - (1/2)*8/√(32 - 8x)
f'(x) = 0时,f(x)最小,此时：
(1/2)*8/√(32 + 8x) = (1/2)*8/√(32 - 8x)
√(32 + 8x) = √(32 - 8x)
32 + 8x　= 32 - 8x
x = 0
此时f(x)=√(32 + 8x) + √(32 - 8x)
=√32 + √32
=8√2