题目

如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A₁BC₁，A，B交AC于点E，A₁，C₁分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF=α，②A₁E=CF，③DF=FC，④AD=CE，其中正确的是______（写出正确结论的序号）

提问时间：2020-12-18

答案

∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∵△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABA₁=∠CBC₁=α，∠A=∠A₁=∠C=∠C₁，
∵∠BFC₁=∠DFC，
∴∠CDF=∠FBC₁=α，所以①正确；
∴BA=BA₁=BC=BC₁，
在△BAE和△BC₁F中

∠A＝∠C1 BA＝BC1 ∠ABE＝∠C1BF

，
∴△BAE≌△BC₁F（ASA），
∴BE=BF，
而BA₁=BC，
∴A₁E=CF，所以②正确；
∵∠CDF=α，
∴当旋转角等于∠C时，DF=FC，所以③错误；
连接BD，如图，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠CBE=∠ABC-∠ABE=α，
而∠DBC不能确定为α，
∴不能判断△ABD与△CBE全等，
∴不能得到AD=CE，所以④错误．
故答案为①②．

根据等腰三角形的性质由BA=BC得∠A=∠C，再根据旋转的性质得BA=BA₁=BC=BC₁，∠ABA₁=∠CBC₁=α，∠A=∠A₁=∠C=∠C₁，而根据对顶角相等得∠BFC₁=∠DFC，于是可根据三角形内角和定理得到∠CDF=∠FBC₁=α；利用“ASA”证明△BAE≌△BC₁F，则BE=BF，所以A₁E=CF；由于∠CDF=α，则只有当旋转角等于∠C时才有DF=FC；连接BD，如图，由于∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠CBE=∠ABC-∠ABE=α，而∠DBC不能确定为α，则不能判断△ABD与△CBE全等，所以不能得到AD=CE．

本题考点：旋转的性质．

考点点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．