题目
在正三棱锥A-BCD中,E是底面正三角形BCD的中心,
过E的平面交AD于F,交AB,AC的延长线分别于M,N,已知AB和侧面ACD所成的角为а,E点到侧面ACD的距离为d,求1/AM+1/AN+1/AF=?
过E的平面交AD于F,交AB,AC的延长线分别于M,N,已知AB和侧面ACD所成的角为а,E点到侧面ACD的距离为d,求1/AM+1/AN+1/AF=?
提问时间:2020-12-17
答案
设三棱锥A-BCD棱长为x,两棱之间夹角为θ,一棱与其对面夹角为α,即题述中的a.
以V(A-BCD)表示三棱锥A-BCD的体积,V(A-MNF)表示三棱锥A-MNF的体积,则有
[V(A-MNF)]/[V(A-BCD)]=(AM·AN·AF)/(x^3)
而V(A-BCD)=(1/3)[(1/2)(x^2)(sinθ)](xsinα)———
{中括号内为A-BCD侧面积,最后的小括号内为对应的高}
由以上两式得V(A-MNF)=(1/6)(AM·AN·AF)(sinα)(sinθ)
又有V(A-MNF)=V(E-AMN)+V(E-ANF)+V(E-AMF)=(1/3)[(1/2)(AM·AN)(sinθ)]*d+(1/3)[(1/2)(AN·AF)(sinθ)]*d+(1/3)[(1/2)(AF·AM)(sinθ)]*d——{中括号内依次为△AMN、△ANF、△AMF面积}
由上(1/3)[(1/2)(AM·AN)(sinθ)]*d+(1/3)[(1/2)(AN·AF)(sinθ)]*d+(1/3)[(1/2)(AF·AM)(sinθ)]*d=(1/6)(AM·AN·AF)(sinα)(sinθ)
整理出1/AM+1/AN+1/AF=sinα/d
以V(A-BCD)表示三棱锥A-BCD的体积,V(A-MNF)表示三棱锥A-MNF的体积,则有
[V(A-MNF)]/[V(A-BCD)]=(AM·AN·AF)/(x^3)
而V(A-BCD)=(1/3)[(1/2)(x^2)(sinθ)](xsinα)———
{中括号内为A-BCD侧面积,最后的小括号内为对应的高}
由以上两式得V(A-MNF)=(1/6)(AM·AN·AF)(sinα)(sinθ)
又有V(A-MNF)=V(E-AMN)+V(E-ANF)+V(E-AMF)=(1/3)[(1/2)(AM·AN)(sinθ)]*d+(1/3)[(1/2)(AN·AF)(sinθ)]*d+(1/3)[(1/2)(AF·AM)(sinθ)]*d——{中括号内依次为△AMN、△ANF、△AMF面积}
由上(1/3)[(1/2)(AM·AN)(sinθ)]*d+(1/3)[(1/2)(AN·AF)(sinθ)]*d+(1/3)[(1/2)(AF·AM)(sinθ)]*d=(1/6)(AM·AN·AF)(sinα)(sinθ)
整理出1/AM+1/AN+1/AF=sinα/d
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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