题目

对称变换 在一组标准正交基下的矩阵是对称矩阵
对称变换是要求在任何一组标准正交基下的矩阵是对称矩阵,还是只要求在某一组标准正交基下的矩阵是对称矩阵就行了?

提问时间：2020-12-17

答案

证明在某组标准正交基下的矩阵为对称阵就相当于证明了在任意一组标准正交基下的矩阵为对称阵了.
设T为这个对称变换,α1 α2 α3 ...αn,β1 β2 β3 ...βn分表为两组标准正交基,α到β的过渡阵为Q,标准正交基之间的过渡矩阵为正交阵,故Q可逆,且Q'=Q^(-1).
即有：(β1 β2 β3 ...βn)=(α1 α2 α3 ...αn)Q
若T在α1 α2 α3 ...αn下的矩阵为对称阵,即T(α1 α2 α3 ...αn)=(α1 α2 α3 ...αn)A（A'=A）
则T(β1 β2 β3 ...βn)=(β1 β2 β3 ...βn)B=[T(α1 α2 α3 ...αn)]Q
=(α1 α2 α3 ...αn)AQ=(β1 β2 β3 ...βn)Q^(-1)AQ,即B=Q^(-1)AQ.
因为A'=A,所以B'=[Q^(-1)AQ]'=Q'A'[Q^(-1)]'=Q^(-1)AQ''=Q^(-1)AQ=B.
故B也为对称阵.由β1 β2 β3 ...βn的任意性,T在任意一组标准正交基下的矩阵为对称阵.
根据这一原理,你只需要证明T在某组标准正交基下的矩阵对称即是证明了T在任意一组标准正交基下对称.