题目

证明曲面f(z/y,x/z,y/x)=0的所有切平面过某一定点,其中f具有连续偏导数

提问时间：2020-12-16

答案

df(z/y,x/z,y/x)=0
f'1d(z/y)+f'2d(x/z)+f'3d(y/x)=0
f'1(ydz-zdy)/y²+f'2(zdx-xdz)/z²+f'3(xdy-ydx)/x²=0
如果设切平面上动点为(X,Y,Z),则点(x,y,z)处的切平面方程为
f'1(y(Z-z)-z(Y-y))/y²+f'2(z(X-x)-x(Z-z))/z²+f'3(x(Y-y)-y(X-x))/x²=0
因为f'1(y(0-z)-z(0-y))/y²+f'2(z(0-x)-x(0-z))/z²+f'3(x(0-y)-y(0-x))/x²=0
所以它经过定点O(0,0,0)