题目

高等代数问题： 设多项式P,Q满足P^2|Q^2,试问是否能推出P|Q. 若能请证明,不能请提出反例.

提问时间：2020-12-16

答案

结论显然是成立的,把P和Q都分解成一次因子的乘积直接比较即可
如果不想涉及域扩张,也可以用初等代数的技术
若p和q的最大公因子是r,那么存在多项式a和b使得bq-ap=r
移项平方得b^2q^2=a^2p^2+2apr+r^2,所以p^2整除2apr+r^2
设p=k*r,那么2apr+r^2=r^2(2ak+1),于是k^2是2ak+1的因子,然而k^2和2ak+1的最大公因子是1,所以k只能是零次多项式,即p=r/k整除q