题目

印度有一个关于“世界末日”的古老传说：在世界中心贝拿乐斯的圣庙里,安放着一个黄铜板,板上插着三根宝石针,每根针约50.8厘米,梵天（印度教主神）在创造世界的时候,在其中的一根针上,自下到上,放下了由大到小的64片金片,这就是所谓梵塔,不论白天黑夜,都有一个值班的僧侣按照梵天不渝的法则,把这些金片在三根针上移来移去,一次只能够移一片,并且要求不管在哪一根针上,小片永远在大片的上面,当所有64片都从梵天创造世界时所放的那根上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消失,梵塔,庙宇和众生都同归于尽,这只是一个传说.
你能算出这个传说的“世界末日”是什么时候吗?请用7片纸片代替金片,找出每一片从一根针上移到另外一根针上所移动纸片的次数的规律,再来计算 “世界末日”时间（设移动一次需要1秒）

提问时间：2020-12-15

答案

为了得到金片个数n=64时的移动次数,首先考虑金片个数较小时的情况,并设金片数为n时的移动次数为hn.
经试验发现,当金片个数为1,2,3,4时,完成转移要求分别需要1,3,7,15次移动,即h1=1,h2=3,h3=7,h4 =15,并猜测hn=2n-1.
一般地,要转移k块金片,只需通过hk-1次移动首先将最上面的k-1片(最大的一片不动)移到另外的一根针上,不妨设转移到B针上,然后将最大的一片移到C针上,最后仍然是保持C针上的最大金片不动,将B针上的k-1片按要求移到C针上,共需移动hk-1次.因此完成K片金片转移需要移动2hk-1＋1次.
下面证明猜测的正确性：显然n=1,2,3,4时,猜测正确,设n=k-1时需2k-1-1次移动,则
hk＝2hk-1＋1=2(2k-1-1)＋1=2k-1
所以可知hn=2n-1.
h64=264-1=18446744073709511615
因为1年中共365×24×60×60＝31536000秒,所以完成64片金片
太阳、行星(包括地球)是在大约30亿年前由不定形物质形成的.恒星,特别是给太阳提供能量的“原子燃料”还能维持100—150亿年.因此,整个太阳系的寿命无疑要短于200亿年,更远远短于5849亿年).