题目

已知O为坐标原点,向量OA=(1,0),向量OB=(cosX,sinX),OC=(cos2x,sin2x)求证OA+OC与OB共线,且OA-OC与OB垂直
已知O为坐标原点,向量OA=(1,0),向量OB=(cosX,sinX),OC=(cos2x,sin2x).求证OA+OC与OB共线,且向量OA-向量OC与OB垂直

提问时间：2020-12-15

答案

证明：已知向量OA=(1,0),OC=(cos2x,sin2x),则：
向量OA+OC=(1,0)+(cos2x,sin2x)=(1+cos2x,sin2x)=(2cos²x,2sinxcosx)=2cosx(cosx,sinx)
又向量OB=(cosX,sinX),所以：
向量OA+OC=cosx*向量OB
这就是说向量OA+OC与OB共线
又向量OA-OC=(1,0)-(cos2x,sin2x)=(1-cos2x,-sin2x)=(2sin²x,-2sinxcosx)且向量OB=(cosX,sinX),
那么：(向量OA-OC)*向量OB
=(2sin²x,2sinxcosx)*(cosX,sinX)
=2sin²xcosx-2sin²xcosx
=0
所以：向量OA-向量OC与OB垂直