题目

已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求

1

y1

+

1

y2

的取值范围；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

提问时间：2020-12-15

答案

（Ⅰ）设直线l方程为y=kx+1代入x²=4y得x²-4kx-4=0
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

1

y1

+

1

y2

≥2

1 y1 • 1 y2

=2

1 x 2 1 4 • 1 x 2 2 4

=2

16 (-4)2

=2
所以

1

y1

+

1

y2

的取值范围是[2，+∞）．（7分）
（Ⅱ）当l平行于x轴时，要使∠AQF=∠BQF，则Q必在y轴上．
设点Q（0，b），由题意得

kAQ+kBQ=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

，
∵x12=4y1，x22=4y2，∴b=-1
∴Q（0，-1）
∵以上每步可逆，
∴存在定点Q（0，-1），使得∠AQF=∠BQF（15分）

（Ⅰ）设直线l方程为y=kx+1，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用基本不等式即可求得求

1

y1

+

1

y2

的取值范围，从而解决问题．
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF，再利用斜率公式结合推理，求出Q点，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题主要考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的联立问题．直线与圆锥曲线的联立是高考考查圆锥曲线的一种典型题型，一般作为压轴题出现．