题目

设函数f(x)=cos^2x+msinx+m-1,x属于[π/6,π/2],是否存在实数m,是f(x)

提问时间：2020-12-15

答案

可以用分离参数法
cos²x+msinx+m-1<1
m<(2-cos²x)/(1+sinx)=(1+sin²x)/(1+sinx)
设1+sinx=t∈[3/2,2],sinx=t-1,sin²x=t²-2t+1
上式可化为 m<(1+t²-2t+1)/t=2/t+t-2
函数2/t+t-2在[√2,+∞]上是增函数,∴t∈[3/2,2]时递增
函数2/t+t-2在t=3/2时取得最小值5/6
∴f(x)<1恒成立时,m<5/6.