题目

过抛物线x²=2py（p>0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为12

2

，则P= ___ ．

提问时间：2020-12-15

答案

抛物线的焦点坐标为F（0，

p

2

），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+

p

2

，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₂>x₁），由题意可知y₁>0，y₂>0
由

y=x+ p 2 x2=2py

，消去y得x²-2px-p2=0，
由韦达定理得，x₁+x₂=2p，x₁x₂=-p²
所以梯形ABCD的面积为：S=

1

2

（y₁+y₂）（x₂-x₁）=

1

2

（x₁+x₂+p）（x₂-x₁）=

1

2

•3p

( x1+x2)  2-4x1x2

=3

2

p²
所以3

2

p²=12

2

，又p>0，所以p=2
故答案为2．

先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而用A，B坐标表示出梯形的面积建立等式求得p．

本题考点：抛物线的标准方程；直线的一般式方程；抛物线的简单性质．

考点点评：本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算能力，属中档题