题目

已知函数f(x)＝px−

p

x

−2lnx．
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围．

提问时间：2020-12-15

答案

（1）当p=2时，函数f(x)＝2x−

2

x

−2lnx，
f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)＝2+

2

x2

−

2

x

，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．
（2）f′(x)＝p+

p

x2

−

2

x

＝

px2−2x+p

x2

．
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x＝

1

p

∈(0，+∞)，
∴h(x)min＝p−

1

p

，只需p−

1

p

≥0，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．

（1）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出化简；
（2）令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，然后建立不等关系，解之即可求出p的取值范围．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于基础题．