题目

如何证明能被7、11、13整除的性质
我不要能被7、11、13整除的性质,我要的是如何证明,比如
3的性质是各个位置上的数之和.
abc=100a+10b+c
=99a+9b+a+b+c
99a+9b能被3整除,只要知道a+b+c能不能被3整除,就可以知道这个数可不可以.
就是这样类似的证明,我只知道能被7、11、13整除的性质,不知道如何证明.
答对+分

提问时间：2020-12-15

答案

简单说下设a=anan-1……a2a1a0为十进制整数
a=∑ak*10^k(k=0,1,……,n)
因为10^k=1(mod3),所以a=an+an-1+……+a1+a0(mod3),mod9类似.
因为10=-1(mod11),100=1(mod11),类推,10^2k=1(mod11),10^(2k+1)=-1(mod11)
所以a=a0-a1+a2-a3+……+(-1)^kak+……+(-1)^nan(mod11)
对于13,10=-3(mod13),100=-4(mod13),10^3=-1(mod13)
所以a=a2a1a0-a5a4a3+……(mod13)