题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n；且向量

a

＝(n，Sn)，

b

＝(4，n+3)共线．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）求数列{

1

nan

}的前n项和T_n＜2．

提问时间：2020-12-15

答案

（1）∵a＝(n，Sn)，b＝(4，n+3)共线，∴n（n+3）-4Sn=0，∴Sn＝n(n+3)4∴a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝n+12，又a1＝1满足此式，∴an＝n+12∴an+1−an＝12为常数，∴数列{an}为等差数列（2）由（1）得an=1+...

（1）利用向量

a

＝(n，Sn)，

b

＝(4，n+3)共线．得到n（n+3）-4S_n=0，根据和与项的关系得证．
（2）由（1）求出a_n=1+（n-1）×

1

2

=

n+1

2

进一步求出

1

nan

＝

2

(n+1)n

＝2(

1

n

−

1

n+1

)，利用裂项求和的方法求出和
T_n．

本题考点：数列的求和；等差关系的确定．

考点点评：求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．