题目

若a、b、c、d都是实数,求证：（a2+b2)(c3+d2）大于等于（ac+bd）2

提问时间：2020-12-14

答案

[证法1] (比较法)
(ac＋bd)2－(a2＋b2)(c2＋d2)
＝a2c2＋2abcd＋b2d2－(a2c2＋a2d2＋b2c 2＋b2d2)
＝－(a2d2－2abcd＋b2c 2)
＝－(ad－bc)2≤0(当ad＝bc时取等号,以下同)．
∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
[证法2] (构造二次函数法)
令函数f(x)＝(a2＋b2)x2－2(ac＋bd)x＋(c2＋d2),
则f(x)＝a2x2－2acx＋c2＋b2x2－2bdx＋d2
＝(ax－c)2＋(bx－d)2≥0．
又知二次系数大于0,故
△＝4(ac＋bd)2－4(a2＋b2)(c2＋d2)≤0．
∴ (ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
[证法3] (三角代换法)
设a＝mcosα ,c＝ncos β,则
b＝msin α,d＝nsinβ ,从而
(ac＋bd)2＝m2n2cos2(α －β )≤m2n2＝(a2＋b2)(c2＋d2)．
∴(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．