题目
三角恒等变化题.
已知函数f(x)=cos^2(x+π/12),g(x)=1/2sin2x+a,若函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方,求a的取值范围.
注意哦,是g(x)=1/2sin2x+a,不是g(x)=1/2sin(2x+a)!
答对追加100!
已知函数f(x)=cos^2(x+π/12),g(x)=1/2sin2x+a,若函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方,求a的取值范围.
注意哦,是g(x)=1/2sin2x+a,不是g(x)=1/2sin(2x+a)!
答对追加100!
提问时间:2020-12-14
答案
f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方
则f(x)>g(x)恒成立
[1+cos(2x+π/6)]/2>1/2*sin2x+a
1+cos(2x+π/6)>sin2x+2a
1+cos2x*√3/2-sin2x*1/2>sin2x+2a
3/2*sin2x-√3/2*cos2x<1-2a
√[(3/2)²+(√3/2)]sin(2x-z)<1-2a
√3sin(2x-z)<1-2a
其中tanz=(√3/2)/(3/2)=√3/3
因为sin(2x-z)最大=1
所以√3sin(2x-z)<=√3
则只要1-2a>√3就能满足
所以a<(1-√3)/2
则f(x)>g(x)恒成立
[1+cos(2x+π/6)]/2>1/2*sin2x+a
1+cos(2x+π/6)>sin2x+2a
1+cos2x*√3/2-sin2x*1/2>sin2x+2a
3/2*sin2x-√3/2*cos2x<1-2a
√[(3/2)²+(√3/2)]sin(2x-z)<1-2a
√3sin(2x-z)<1-2a
其中tanz=(√3/2)/(3/2)=√3/3
因为sin(2x-z)最大=1
所以√3sin(2x-z)<=√3
则只要1-2a>√3就能满足
所以a<(1-√3)/2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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