题目

已知函数f（x）=-x²+|x|．
（1）用分段函数的形式表示该函数并画出函数的图象；   
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数的最大值．

提问时间：2020-12-14

答案

（1）∵f（x）=-x²+|x|=

−x2−x，x＜0 −x2+x，x≥0

∴函数f（x）的图象如下图所示：

（2）由（1）中函数图象可得：
函数f（x）的单调递增区间为：（-∞，-

1

2

]和[0，

1

2

]，
函数f（x）的单调递减区间为：[-

1

2

，0]和[

1

2

，+∞）．
（3）（2）由（1）中函数图象可得：
函数f（x）的最大值为

1

4

．

（1）根据绝对值的意义，分x≥0，x＜0两种情况去掉绝对值，即可得到函数f（x）分段函数形式的解析式，进而根据二次函数的图象和性质得到函数的图象；
（2）根据从左到右图象上升对应函数的单调递增区间，下降对应函数的单调递减区间，可得结论．
（3）函数的最大值，即图象图象上最高点的纵坐标，结合（1）中图象及二次函数的图象和性质，可得答案．

本题考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值域；函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题给出含有绝对值的二次形式的函数，求函数的单调性与值域．着重考查了二次函数的图象与性质、函数图象的作法与函数的奇偶性等知识，属于中档题．