题目
答案
用反证法来证明:
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,
由于a,b,c∈(0,1),
所以
√[(1-a)b]>1/2,
√[(1-b)c]>1/2,
√[(1-c)a]>1/2,
即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①
又因为
√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2,·············②
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2,
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2,
所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2,
这与①式:√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾.
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4.
注:本题用到了以下的基本不等式:
由于(√a-√b)^2≥0,展开得:a+b≥2√ab,即:√ab≤(a+b)/2.
②式利用了该基本不等式.
假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4,
由于a,b,c∈(0,1),
所以
√[(1-a)b]>1/2,
√[(1-b)c]>1/2,
√[(1-c)a]>1/2,
即√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]>3/2············①
又因为
√[(1-a)b]≤(1-a+b)/2,·············②
√[(1-b)c]≤(1-b+c)/2,
√[(1-c)a]≤(1-c+a)/2,
所以√[(1-a)b]+√[(1-b)c]+√[(1-c)a]≤3/2,
这与①式:√((1-a)b)+√((1-b)c)+√((1-c)a)>3/2矛盾.
所以假设不成立,
故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a中至少有一个不大于1/4.
注:本题用到了以下的基本不等式:
由于(√a-√b)^2≥0,展开得:a+b≥2√ab,即:√ab≤(a+b)/2.
②式利用了该基本不等式.
举一反三
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