题目

设函数f(x)是周期等于2的周期函数,并且满足f(x)=x²,x属于(-1,1]
设函数f(x)是周期等于2的周期函数,并且满足f(x)=x²,x属于(-1,1],对于正整数k,求集合Mk=｛a|使关于x的方程f(x)=ax在区间（2k-1,2k+1]上有两个不相等的实数根｝.

提问时间：2020-12-14

答案

函数f(x)是周期等于2的周期函数
   f(x)=x²,x属于(-1,1]
设x∈（2k-1,2k+1]
那么x-2k∈(-1,1]
∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)²
方程f(x)=ax即(x-2k)²=ax两个不相等的实数根
那么f(x)=(x-2k)²,x∈（2k-1,2k+1]图像
 与直线y=ax有2个交点.
f(x)=(x-2k)²,x∈（2k-1,2k+1]图像为抛物线弧,
顶点为(2k,0),开口朝上,弧的端点为
Ak(2k-1,1)  (空圈）,Bk(2k+1,1) (实点）
 
若有2个交点,需那么直线在x轴和OBk之间
直线斜率a在0和OBk的斜率之间
OBk的斜率为1/(2k+1)
 ∴0<a≤1/(2k+1)     
Mk是使方程有两个不相等的实数根的实数a的集合
即Mk=(0,1/(2k+1)]