题目

已知函数f（x）=x³+ax²+b的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0．
（1）求函数f（x）及单调区间；
（2）求函数在区间[0，t]（t＞0）上的最值．

提问时间：2020-12-14

答案

（1）由P点在切线上得f（1）=0，即点P（1，0）又要在y=f（x）上，得a+b=-1又f'（1）=-3⇒2a=-6故f（x）=x3-3x2+2f'（x）=3x2-6x，令f'（x）＞0解得x＞2或x＜0，∴f（x）的增区间是（-∞，0），（2，+∞），减区间是...

（1）先根据函数f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线为3x+y-3=0，求出解析式，然后利用导函数大于0求出单调增区间，导函数小于0求出单调减区间；
（2）讨论t与2的大小，根据函数在[0，t]上的单调性研究函数的最值即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及对函数单调性的分类讨论，函数的最值等有关基础知识，属于基础题．