题目

证明：分解{1+p+.+p^2k}的素数中一定有一个数大于p 或找出反例.（p为素数,k为正整数）

提问时间：2020-12-14

答案

对k = 1.
可取p = 61,1+p+p² = 4557 = 3·7²·31.
此外p = 79,137,149...都是反例.
对k = 2.
可取p = 7307,1+p+...+p^4 = 11·151·191·911·1481·6661.
此外p = 9769,16631,26293...都是反例.
对k = 3.
可取p = 493397,1+p+...+p^6 = 29²·127·1163·2129·4229·26041·50177·71359·138349.
限于计算能力,对于k > 3暂未找到反例.
可以理解随着k的增大反例将变得更稀少.