题目

如图所示，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE，BE与DC交于点P．求证：PA平分∠DPE．

提问时间：2020-12-13

答案

证明：过点A分别作AM⊥DP，垂足为点M，AN⊥PE，垂足为点N，
∵∠DAB=∠CAE（已知），
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC（等式的性质），
即∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中，
∵AB=AD，∠DAC=∠BAE．AC=AE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴DC=BE （全等三角形的对应边相等），
∵S_△ADC=S_△ABE
∴AM=AN
在Rt△AMP和Rt△ANP中，

AP＝AP(公共边) AM＝AN(已证)

，
∴Rt△AMP≌Rt△ANP（HL）．
∴∠APM=∠APN（全等三角形的对应角相等），
∴PA平分∠DPE（角平分线的定义）

先由AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE，易证△ADC≌△ABE（SAS），由△ADC≌△ABE可得它们的面积相等，且对应边相等，所以得到对应边上的高也相等，即AM=AN，然后由“HL”定理证明Rt△AMP≌Rt△ANP，从而证明结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，通过作辅助线，证明两次三角形全等，即可证明结论．