题目

求证,对任意实数x1,x2都有(sinx2-sinx1)的绝对值小于等于(x2-x1)的绝对值

提问时间：2020-12-13

答案

先证明一个结论：当0【证明】
当0设从原点出发、与x轴夹角为x的射线交单位圆于A,过A作AB垂直于x轴于B,那么显然AB=sinx；再联结A和单位圆与x轴的交点C,那么弧AC的长度等于x.但是AB下面再来解这个题：
【解】
当|x2-x1|>2时,
因为|sinx2-sinx1|的最大值是2,
所以|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|成立.
当|x2-x1|≤2时,
|sinx2-sinx1|=2|cos((x2+x1)/2)sin((x2-x1)/2)|
因为|cos((x2+x1)/2)|≤1,
所以|sinx2-sinx1|≤2 |sin((x2-x1)/2)|=2sin|(x2-x1)/2|,
因为|(x2-x1)/2|∈(0,1)含于(0,π/2),
根据上面的结论有：|sin((x2-x1)/2)|< |(x2-x1)/2|
∴|sinx2-sinx1|≤2sin|(x2-x1)/2|<2* |(x2-x1)/2|=|x2-x1|
综上可知：对任意实数x1,x2,都有|sinx2-sinx1|≤|x2-x1|.