题目

在Rt△ABC中，∠C=90°，且∠A，∠B，∠C所对的边a，b，c满足a+b=cx，则实数x的取值范围是（　　）
A. （0，1]
B. （0，2]
C. （1，

2

）
D. （1，2）

提问时间：2020-12-13

答案

由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC，又sinC=1，得到a=csinA，b=csinB，所以a+b=csinA+csinB=cx，由A+B=90°，得到sinB=cosA，则x=sinA+sinB=sinA+cosA=2sin（A+π4），∵sin（A+π4）∈（22，1），∴x∈（1，2）．故...

由∠C=90°，得到sinC=1，然后利用正弦定理表示出a与b，代入a+b=cx，表示出x，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，从而根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，得到x的范围．

本题考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值．根据正弦定理表示出a与b是本题的突破点，同时要求学生掌握正弦函数的值域的求法．