题目

如图，菱形ABCD，∠BAD=120°，点M为BC上一点，点N为CD上一点，若∠AMN=60°，试判断△AMN的形状，说明理由（请用全等三角形的方法解答）．

提问时间：2020-12-12

答案

答：△AMN是等边三角形．
证明：连接AC交MN于点F，过点M作ME∥AC交AB于点E，
∵菱形ABCD中，∠BAD=120°，
∴△ABC与△ACD为等边三角形，∠BCD=120°，
∴AB=BC，
∴∠B=60°，
∴△BME为等边三角形，
∴EM=BM=BE，∠BEM=60°，
∴∠AEM=120°，
∴∠AEM=∠BCD，
∴AB-BE=BC-BM，
即AE=MC，
∵∠AMC为△ABM的一个外角，
∴∠AMC=∠B+∠1，
∵∠AMC=∠AMN+∠2，
∵∠AMN=∠B=60°，
∴∠1=∠2，
在△AEM和△MCN中，

∠1＝∠2 AE＝MC ∠AEM＝∠MCN

，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN，
∵∠AMN=60°，
∴△AMN是等边三角形．

首先连接AC交MN于点F，过点M作ME∥AC交AB于点E，进而得出△BME为等边三角形，求出AE=MC，再证△AEM≌△MCN（ASA），得出△AMN的形状．

本题考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及菱形的性质和等边三角形的判定与性质等知识，得出△AEM≌△MCN是解题关键．