题目

x y都大于0 x+y+xy=2.x+y的最小值是多少?设x^2+y^2=4求xy+4(x+y)-2的最小值、、、谢谢~

提问时间：2020-12-12

答案

1.令 t =x +y.
因为 x,y >0,
由基本不等式,
(x +y) /2 ≥√xy,
即 xy ≤(t^2) /4,
当且仅当 x =y =t/2 时成立.
所以 2 =x +y +xy
≤t +(t^2) /4,
即 t^2 +4t -8 ≥0.
解得 t ≤ -2 -2√3 或 t ≥ 2√3 -2.
所以 x+y ≥ 2√3 -2,
当且仅当 x =y =√3 -1 时,等号成立.
即 当 x =y =√3 -1 时,x +y 有最小值 2√3 -2.
= = = = = = = = =
换元法,基本不等式,解不等式.
= = = = = = = = =
2.由均值不等式,
√[ (x^2 +y^2) /2 ] ≥ (x +y) /2 ≥ √xy,
当且仅当 x =y 时,等号都成立.
又因为 x^2 +y^2 =4,
所以 x +y ≤2√(4/2) =2√2,
xy ≤4/2 =2,
当且仅当 x =y =√2 时,等号都成立.
所以 xy +4(x +y) -2 ≤2 +8√2 -2
=8√2.
即 当 x =y =√2 时,xy +4(x +y) -2 有最小值 8√2.
= = = = = = = = =
均值不等式.
即 平方平均数 ≥算术平均数 ≥几何平均数.