题目

急：若ai,bi是正实数,(i=1,2,3.n;n>=3),且(a1/b1求证(a1/b1)<((a1+a2+.+an)/(b1+b2.+bn)<(an-bn)

提问时间：2020-12-12

答案

方法：不等式的放缩法
证明：依题意可知,ai＞0,bi＞0(i=1,2,3,...,n;n≥3)
令 a1/b1=k1,a2/b2=k2,a3/b3=k3,...,an/bn=kn
则有 0＜k1＜k2＜k3＜...＜kn
a1=k1·b1,a2=k2·b2,a3=k3·b3,...,an=kn·bn
(a1+a2+...+an)/(b1+b2+...+bn)=(k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)
且 (k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)＞(k1·b1+k1·b2+k1·b3+...+k1·bn)/(b1+b2+...+bn)=k1·(b1+b2+b3+...+bn)/(b1+b2+...+bn)=k1
(k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)＜(kn·b1+kn·b2+kn·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)=kn·(b1+b2+b3+...+bn)/(b1+b2+...+bn)=kn
=> k1＜(k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)＜kn
=> a1/b1＜(k1·b1+k2·b2+k3·b3+...+kn·bn)/(b1+b2+...+bn)＜an/bn
此题证毕
注：本题中将k1和kn作为两个边界值,分别为最小和最大,夹在其中的所有值都分别大于最小值,分别小于最大值,向最小值方向缩小,向最大值方向放大,即为不等式的放缩法.