题目

设P(x,y)是双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2=1上的任一点,过P作双曲线两条渐近线的平行线,分别交渐近线于Q,P,
设P(x,y)是双曲线x^2/a^2 -y^2/b^2=1上的任一点,过P作双曲线两条渐近线的平行线,分别交渐近线于Q,P,则平行四边形OQPR的面积为多少?

提问时间：2020-12-12

答案

易知渐近线l1：y=bx/a,l2：y=-bx/a
令P（x0,y0）,过P作l1的平行线交l2于Q
由点斜式易知过P且平行于l1的直线方程为y-y0=b/a(x-x0)
联立l2直线方程得Q（(bx0-ay0)/2b,(ay0-bx0)/2a）
由两点间距离公式（或勾股定理）得QO=|bx0-ay0|/2*(c/ab)（注意到c^2=a^2+b^2）
由点到直线的距离得P到l2的距离d=|bx0+ay0|/c（注意到c^2=a^2+b^2）
于是平行四边形面积为S=QO*d=|b^2x0^2-a^2y0^2|/(2ab)
考虑到P在双曲线上,则x0^2/a^2 -y0^2/b^2=1,即b^2x0^2-a^2y0^2=a^2b^2
所以S=ab/2