题目

求一个数论问题的证明
n个连续自然数的积必能被n的阶乘整除
这道题既不是我看书上的,也不是谁问我的.是我自己想的.
如果你怀疑这个问题本身的正确性,请你回想一下组合数公式.
你的证明方法是对的，给了我提示。不过中间过程有点小错误
i,i+1,...,i+n，i=1,2,...是n＋1个自然数，不是n个
应该设i+1,...,i+n，i=1,2,...
从而n个自然数的连乘积A=(i+1)*...*(i+n)=(i+n)!/i!
倒数第三行应该是Ck=(k+n)!/(k!*n!)=Ck-1*(k+n)/k...成立

提问时间：2020-12-12

答案

同意一楼.结论正确,用数学归纳法证明
设n个自然数为i,i+1,...,i+n,i=1,2,...
n个自然数的连乘积A=i*(i+1)*...*(i+n)=(i+n)!/i!
B=n!
C=A/B=(i+n)!/(i!*n!)
代入i=1,2等成立,
C1=1+n
C2=(n+1)(n+2)/2=C1*(n+2)/2.若n为奇数则n+3为偶数,成立
C3=(n+1)(n+2)(n+3)/2*3=C2*(n+3)/3.三个连续的自然数必有一个是3的倍数,成立
假设i=k时成立,当i=k+1时
Ck=(k+n)!/(k!*n!)=Ck-1*(k+n)/n...成立
Ck+1=(k+1+n)!/[(k+1)!*n!]=(k+1+n)*Ck/(k+1)=Ck*(m+n)/m,m=k+1
成立,得证