题目
设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.
(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
(1)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;
(2)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
提问时间:2020-12-11
答案
(1)f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).
因f(x)在x=3取得极值,所以f'(3)=6(3-a)(3-1)=0.解得a=3.
经检验知当a=3时,x=3为f(x)为极值点.
(2)令f'(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1.
当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增
函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函
数,从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数.
综上所述,当a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
因f(x)在x=3取得极值,所以f'(3)=6(3-a)(3-1)=0.解得a=3.
经检验知当a=3时,x=3为f(x)为极值点.
(2)令f'(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1.
当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增
函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函
数,从而f(x)在(-∞,0]上也为增函数.
综上所述,当a∈[0,+∞)时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.
(1)求出f′(x),由x=3取得极值得到f'(3)=0,求解得到a的值即可;
(2)因为函数在(-∞,0)上为增函数令f'(x)=0得到函数的驻点,由a的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时a的范围即可.
(2)因为函数在(-∞,0)上为增函数令f'(x)=0得到函数的驻点,由a的取值范围研究函数的增减性得到函数为增函数时a的范围即可.
利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性.
考查学生利用导数研究函数极值及单调性的运用能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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