题目

如果x+1/x=a,a为已知数,求x13+1/x13的值（x13 表示x的十三次方）

提问时间：2020-12-11

答案

幂次太多,计算比较麻烦；
已知 x+(1/x)=a,则 [x+(1/x)]²=a² → x²+(1/x²)=a²-2
[x+(1/x)]*[x²+(1/x²)]=x³+(1/x³)+[x+(1/x)]=a*(a²-2) → x³+(1/x³)=a³-3a；
[x²+(1/x²)]*[x³+(1/x³)]=[x^5+(1/x^5)]+[x+(1/x)]=(a²-2)*(a³-3a)
→ x^5+(1/x^5)=(a²-2)(a³-3a)-a；
[x³+(1/x³)]*[x^5+(1/x^5)]=[x^8+(1/x^8)]+[x²+(1/x²)]=(a³-3a)[(a²-2)(a³-3a)-a]
→ x^8+(1/x^8)=(a³-3a)[(a²-2)(a³-3a)-a]-(a²-2)；
[x^5+(1/x^5)]*[x^8+(1/x^8)]=[x^13+(1/x^13)]+[x³+(1/x³)]
=[(a²-2)(a³-3a)-a]*{(a³-3a)[(a²-2)(a³-3a)-a]-(a²-2)}
∴ x^13+(1/x^13)=[(a²-2)(a³-3a)-a]*{(a³-3a)[(a²-2)(a³-3a)-a]-(a²-2)}-(a³-3a)；