题目

设双曲线y²/a²-x²/3=1的两个焦点分别为F1、F2,离心率为2.
（1）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程
（2）点A、B分别为l1、l2上的动点,且2|AB|=5|F1F2|,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么

提问时间：2020-12-10

答案

（1）c/a=2又b^2=3,c^2=a^2+b^2
解之得a^2=1,b^2=3,c=2,
双曲线的方程为y²-x²/3=1
所以双曲线的两条渐近线为y±x/√3=0
（2）|AB|=5c=10,
设A（s,s/√3),B(t,-t/√3) M（x,y）
则2x=s+t…………（1）
2y=(s-t)/√3…………(2)
(s-t)^2+(s+t)^2/3=100…………(3)
将(1)、(2)代入(3),消去x、y得
12y^2+4x^2/3=100
即得点M的轨迹方程为x^2/75+y^2/(25/3)=1
由轨迹方程可知轨迹为以原点为中心,焦点在x轴上,长轴长为10√3,短轴长为30√3/3的椭圆.