题目

为何“当limx→∞f(x)=0时,存在X> 0,当x >X时,f(x)有界”命题错误呢?

提问时间：2020-12-10

答案

当x趋于+∞时,limf(x)=0,按极限定义表述为,对任意ε>0,存在X>0,使得当x>X时,|f(x)|<ε.从最后这个不等式似乎可以得出f(x)有界,其实不然,因为这里的ε是任意选取的,而X是依赖于ε的,即选取的ε不同,那么找到的X也不同,因此X是一个变化的数,而不可能是一个事先可以确定的数,但是函数在某个区间上有界,要求这区间是确定的,说函数在一个变化的区间上有界没有意义.本题反映的是函数的局部有界性,注意这局部有界性只能保证函数在某个范围内有界,但这范围是不能准确给出的.