题目

求一个有关定积分公式的证明
I[n]=∫[0,π/2](sin^n(x))dx=∫[0,π/2](cos^n(x))dx=(n-1)/n*I[n-2]
这应该是个序列,会不会叫“伊萨克牛顿序列”……
一直到第三个等号之前我都理解,最后一步如何证明?
本人将I1到I5都求出来了,可是找不到规律……
求不定积分时,我一直用降次的方法求,但是对于任意n好像没有公用的降次方法.
此外,拒绝数学归纳法!
明白了
∫(sinx)^ndx
=∫[(sinx)^(n-1)sinxdx]
=(sinx)^(n-1)cosx-∫[-cosx*(n-1)*(sinx)^(n-2)cosxdx]
=(sinx)^(n-1)cosx+∫[(n-1)(sinx)^(n-2)-(n-1)(sinx)^n]dx
所以(n-1)*I[n-2]-n*I[n]=0
证毕

提问时间：2020-12-09

答案