题目

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．已知

m

＝(sinC，sinBcosA)，

n

＝(b，2c)且.

m

•

n

＝0
（1）求∠A大小．
（2）若a＝2

3

，c＝2，求△ABC的面积S的大小．

提问时间：2020-12-09

答案

（1）∵

m

•

n

＝0，
∴（sinC，sinBcosA）•（b，2c）=0．
∴bsinC+2csinBcosA=0．
根据正弦定理得：

b

sinB

＝

c

sinC

，
∴bc+2cbcosA=0．
∵b≠0，c≠0，
∴1+2cosA=0．
∴cosA＝−

1

2

．
∵0＜A＜π，
∴A＝

2π

3

．
（2）△ABC中，∵a²=c²+b²-2cbcosA，
∴12=4+b²-4bcos120°．
∴b²+2b-8=0．∴b=-4（舍），b=2．
∴△ABC的面积S＝

1

2

bcsinA＝

1

2

×2×2×

3

2

＝

3

．

（1）根据平面向量的数量积的运算法则化简

m

•

n

＝0后，再根据正弦定理变形，根据bc不为0，得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由a，c及cosA的值，利用余弦定理求出b的值，然后由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

本题考点：解三角形；三角函数的恒等变换及化简求值．

考点点评：此题考查了平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理及三角形的面积公式，熟练掌握法则及定理是解本题的关键．