题目

x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根,则(x-1)^2+(y-1)^2的最小值是( )
A49/4 B-49/4 C8 D-6

提问时间：2020-12-09

答案

楼上错误,因为当a=3/4时,方程无实根.
选C 8.
由根与系数的关系知
x+y=2a
xy=a+6
展开(x-1)^2+(y-1)^2
=x^2+y^2-2(x+y)+2
=(x+y)^2-2xy-2(x+y)+2
=4a^2-6a-10
由于方程有两个实根,所以其判别式△=4a^2-4(a+6)≥0,展开
△=4a^2-4(a+6)
=4a^2-4a-24
=4(a^2-a-6)
=4(a-3)(a+2)≥0
解这个不等式得：a≥3或a≤-2,
在a≥3或a≤-2的限制条件下,来求下式的最小值：
(x-1)^2+(y-1)^2
=4a^2-6a-10
=2(2a^2-3a-5)
=2(2a-5)(a+1)
考虑关于f(a)=4a^2-6a-10的抛物线,开口向上,与横轴的两个交点是：(-1,0)(5/2,0),在限制条件下,它的有效区域是：a≥3或a≤-2,因此最小值应在a=3或a=-2处取得,
分别计算得
当a=3时,(x-1)^2+(y-1)^2=4a^2-6a-10=36-18-10=8；
当a=-2时,(x-1)^2+(y-1)^2=4a^2-6a-10=16+12-10=18；
很显然,(x-1)^2+(y-1)^2的最小值当a=3时取得为：8.故本题选C.