题目

已知命题p：“直线y=kx+1椭圆

x2

5

+

y2

a

＝1恒有公共点”命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-12-09

答案

∵直线y=kx+1恒过定点A（0，1）
要使得直线y=kx+1与椭圆

x2

5

+

y2

a

＝1恒有公共点
则只要点A在椭圆

x2

5

+

y2

a

＝1内或椭圆上即可
方程

x2

5

+

y2

a

＝1表示椭圆可得a＞0且a≠5
∴

1 a ≤ 1 a＞0且a≠5

解可得a≥1且a≠5
P：a≥1且a≠5
只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，则可得△=4a²-8a=0
解可得a=0或a=2
∴q：a=0或a=2
由命题“p或q”是假命题可得p，q都为假命题
∴

a＜1或a＝5 a≠0且a≠2

∴a＜0或0＜a＜1 或a=5．

由直线y=kx+1恒过定点A（0，1），要使得直线y=kx+1与椭圆

x2

5

+

y2

a

＝1恒有公共点，则只要点A在椭圆

x2

5

+

y2

a

＝1内或椭圆上即可，从而可求P
若只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，则可得△=4a²-8a=0，可求q；由命题“p或q”是假命题可得p，q都为假命题
从而可求a得范围

本题考点：直线与圆锥曲线的关系；复合命题的真假．

考点点评：本题主要考查了p或q型复合命题的真假判断的应用，解题的关键还是要能准确的求出命题P，命题q分别为真的范围，注意到命题p中的技巧，而对a＞且a≠5的考虑是解题中容易漏掉的地方．