题目

f(-c,0)是双曲线x^2/-y^2/b^2=1 (a＞0 b＞0）的做焦点 p是抛物线y^2=4cx上一点 直线fp与圆x^2+y^2=a^2相
切于点e 且pe=fe 若双曲线的焦距为2倍根号5+2 则双曲线的实轴长
为

提问时间：2020-12-08

答案

不好意思,之前把焦距看成2﹙√5 +2﹚
既然焦距是2√5 +2 即c=√5 +1
那么解法还是下面解法,最后c代换换一下
抛物线y^2=4cx 焦点F2（c,0）
∵E为直线FP与以原点为圆心a为半径的圆的切点
又PE=EF
∴OE为直线FP的中垂线 （O为原点）
∴OP=OF=c
又FF2=2c,O为FF2中点,OP=c
∴∠FPF2=90º(直角三角形中,直角顶点与斜边中点的连线长度为斜边的一半)
又△FEO∽△FPF2
∴PF2/EO=FF2/FO=2c/c=2
又EO=a
∴PF2=2a
作PQ⊥QF于Q（即PQ长即P到x= -c的距离）
∴PQ=PF2=2a
又Rt△FPQ∽Rt△F2FQ 令PF=2x=2EF
∴QP／PF=PF/FF2
即2a/(2x)=(2x)/(2c)
即x²=ac=EF²
∴在Rt△FEO中
OF²=EF²+EO²
即c²=ac+a²
即a²+(1+√5)a-(1+√5)²=0
△=5（1+√5）²
√△=√5*（1+√5）=√5 +5
a1= (-1-√5+√5 +5)/2= 4/2=2
a2= (-1-√5-√5 -5)/2= (-2√5-6)/2=-√5 -3 (舍)
∴实轴长为4