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题目
根据函数单调性的定义,证明函数f (x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.

提问时间:2020-12-08

答案
证明:证法一:在(-∞,+∞)上任取x1,x2且x1<x2
则f(x2)-f(x1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22
∵x1<x2
∴x1-x2<0.
当x1x2<0时,有x12+x1x2+x22=(x1+x22-x1x2>0;
当x1x2≥0时,有x12+x1x2+x22>0;
∴f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0.
即f(x2)<f(x1
所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
证法二:在(-∞,+∞)上任取x1,x2,且x1<x2
则f(x2)-f(x1)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22).
∵x1<x2
∴x1-x2<0.
∵x1,x2不同时为零,
∴x12+x22>0.
又∵x12+x22
1
2
(x12+x22)≥|x1x2|≥-x1x2
∴x12+x1x2+x22>0,
∴f(x2)-f(x1)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)<0.
即f(x2)<f(x1).
所以,函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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