题目

将自然数1,2,3,4,5,6.依次往后排,排成一个数1234567891011.,排到哪一位时可以被72整除

提问时间：2020-12-08

答案

楼上哥们关于这样的数被9整除的特征是错误的,不如123...78,123...1617都可以被9整除,而这些数的结尾并非9的倍数.
事实上,将如上形成的数重新分裂成连续的自然数列1,2,3,...,8,9,10,11,...,18,19,20,...,
然后对每一项取被9整除的余数,可以得到如下的"余数列"：
1,2,...,8,0,1,2,...,8,0,1,2,...,
容易证明,对于一个那样给定的数被9整除的充分必要条件是其余数列之和可以被9整除,进而容易证明,其余数列之和被9整除的充分必要条件是余数列必须以8或0结尾.
注意在余数列中,那些0出现的地方必然是9的倍数,因而容易知道被9整除的那样的数的结尾只可能是：8,9,17,18,26,27,35,36,44,45,...
考虑到这个数还必须被8整除,因而其最后三位数必须是8的倍数,特别的其最后一位数必须是偶数,于是被72整除的数的结尾只能是8,18,26,36,44,...
而这些数对应的三位数是678,718,526,536,344,逐一验证是否被8整除后,发现与536对应的数12...343536是满足这个条件的最短（也是最小的）数.