题目

已知函数f(x)的定义域是x不等于0的一切实数,对定义域内的任意a,b都有f(ab)=f(a)=f
打错了，应是都有f(ab)=f(a)+f(b），且当想》1时，f(x)>0,f(2)=1,求证f(x）是偶函数。（2）f(x)在（0,＋无穷）上是增函数。

提问时间：2020-12-07

答案

(1)
∵f(ab)=f(a)+f(b)
令a=b=-x
∴f[(-x)*(-x)]
=f(x^2)=f(-x)+f(-x)
令a=b=x
∴f(x*x)
=f(x^2)=f(x)+f(x)
∴f(-x)+f(-x)= f(x)+f(x)
即：2f(-x)=2f(x),
∴f(-x)=f(x)
∴f(x)为偶函数
(2)
设01∴f(x2/x1)>0.
f[x1*(x2/x1)]=f(x1)+f(x2/x1)
即：f(x2)=f(x1)+f(x2/x1)
即：f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)>0,
∴f(x2)>f(x1),
∴函数在(0,+∞)上是增函数