题目

如果a,b满足ab不等于0,且a/（1+a ）+b/（1+b）=（a+b）/（1+a+b）,求a+b的值.

提问时间：2020-12-07

答案

在等式 a/(1+a)+b/(1+b)=(a+b)/(1+a+b) 两边同时乘以 1+a+b 得到
a(1+a+b)/(1+a)+b(1+a+b)/(1+b)=a+b (1)
因为 (1+a+b)/(1+a)=1+b/(1+a),(1+a+b)/(1+b)=1+a/(1+b),所以 (1) 式又可写为 a(1+b/(1+a))+b(1+a/(1+b))=a+b (2)
即 a+b+ab/(1+a)+ab/(a+b)=a+b. 两边消去 a+b 得到
ab/(1+a)+ab/(1+b)=0,又 ab 不等于0,所以 1/(1+a)+1/(1+b)=0,再通分即知 2+a+b=0,所以 a+b=-2.