题目

已知椭圆C；x^2／4＋y^2=1,过直线L：x=4√3／3上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点为A、B.
（1）求证：直线AB恒过一定点.

提问时间：2020-12-07

答案

假设M坐标是:(xM,yM)=(4√3／3,y0)
A坐标是(xA,yA)
B坐标是(xB,yB)
那么AM的方程为（参看椭圆切线方程）
(xA/4)*x+yA*y=1
BM的方程为
(xB/4)*x+yB*y=1
两直线都经过M
所以,可以把M的坐标代进去,得到
(xA/4)*xM+yA*yM=1
(xB/4)*xM+yB*yM=1
构造一个直线方程:(xM/4)*x+yM*y=1,由上面的方程组可知,(xA,yA),(xB,yB)都是这个方程的解,所以,该直线通过A、B,AB的方程就是它
代数落实,AB方程为
x/√3+y0*y=1
当y=0,x=√3时,此方程一定成立
所以AB必定经过(√3,0)这一点.