题目

如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i（即tanα）为1：1.2，坝高为5米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1米，形成新的背水坡EF，其坡度为1：1.4，已知堤坝总长度为4000米．
（1）求完成该工程需要多少土方？
（2）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？

提问时间：2020-12-06

答案

（1）作DG⊥AB于G，作EH⊥AB于H，
∴EH∥DG，∠EHG=∠DGB=90°，
又∵CD∥AB，
∴四边形EHGD是矩形，
∴EH=DG=5米，
∵

DG

AG

＝

1

1.2

，∴AG=6米，
∵

EH

FH

＝

1

1.4

，∴FH=7米，
∴FA=FH+GH-AG=7+1-6=2（米）
∴S_ADEF=

1

2

（ED+AF）•EH=

1

2

（1+2）×5=7.5（平方米）
V=7.5×4000=30000（立方米）；
答：需要30000立方米土方．
（2）设甲队原计划每天完成x立方米土方，乙队原计划每天完成y立方米土方．
根据题意，得

20(x+y)＝30000 15[(1+30%)x+(1+40%)y]＝30000

，
化简，得

x+y＝1500 1.3x+1.4y＝2000

，
解之，得

x＝1000 y＝500

，
答：甲队原计划每天完成1000立方米土方，
乙队原计划每天完成500立方米土方．（9分）

（1）欲求完成该工程需要多少土方，根据体积公式，在本题中，必须求出四边形AFED的面积，上底、高为已知，只需用两次坡度比求出AF的长．
（2）根据题中两个等量关系列方程组解答即可．

本题考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题；二元一次方程组的应用．

考点点评：此题考查了三角函数、分式方程、方程组的解答以及梯形面积的计算，难易程度适中．